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In mwcqmatematica, i mwcgquaternioni sono entità introdotte da mwcwWilliam Rowan Hamilton nel mwda1843 come estensioni dei mwdqnumeri complessi.

Un quaternione è un oggetto formale del tipo

mweq a + b i + c j + d k {\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }

dove mwew a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} sono numeri reali e mwfa i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } sono dei simboli che si comportano in modo simile all'mwfqunità immaginaria dei numeri complessi.

I quaternioni formano un mwfwcorpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei mwgacampi, quali i mwgqnumeri reali o mwggcomplessi, tranne la mwgwproprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli mwhaottetti e i mwhqsedenioni, non hanno neppure la mwhgproprietà associativa. I quaternioni contengono i numeri complessi mwhw a + b i {\displaystyle a+b\mathbf {i} } e formano anche uno mwiaspazio vettoriale reale di mwiqdimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di mwigalgebra di divisione non mwiwcommutativa.

I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle mwjqrotazioni dello spazio: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella mwjgfisica teorica (nella mwjwteoria della relatività e nella mwkameccanica quantistica) e in settori più applicati, come la mwkqcomputer grafica 3D e la mwkgrobotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi). Analogamente all'mwkwanalisi complessa e allo studio delle mwlafunzioni olomorfe di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l'analisi ipercomplessa e lo studio delle funzioni "regolari" di variabile quaternionica.cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

• Storia

• Definizione

• Esempio

• Proprietà basilari

• Prodotto non commutativo

• Coniugato

• Norma

• Inverso

• Struttura algebrica

• Struttura metrica

• Quaternioni unitari

• Gruppo di Lie

• Gruppo di rotazioni

• Rivestimenti

• Sottogruppo finito

• Notazioni e rappresentazioni alternative

• Notazione scalare/vettore

• Coppia di numeri complessi

• Matrici

• Equazioni sui quaternioni

• Generalizzazioni

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

I quaternioni furono formalizzati dal matematico mwtgirlandese mwtwWilliam Rowan Hamilton nel mwua1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i mwuqnumeri complessi (che possono essere visti come punti su un mwugpiano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione

mwvq i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1.}

Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte mwvwBrougham (noto ora come mwwamwwqBroom Bridge) a mwwgDublino.

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della mwxacommutatività della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'mwxqalgebra lineare ed il mwxgprodotto fra matrici. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il mwxwprodotto vettoriale e il mwyaprodotto scalare negli mwyqspazi vettoriali. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, mwygElementi sui quaternioni aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'mwzaalgebra lineare e del mwzqcalcolo vettoriale (sviluppato fra gli altri da mwzgOliver Heaviside e mwzwWillard Gibbs), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli mwaaottetti in dimensione otto). Una prima versione delle mwaqequazioni di Maxwell utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di mwawrotazioni e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella mwbacomputer grafica 3D, nella mwbqteoria del controllo, nell'mwbgelaborazione dei segnali, nel mwbwcontrollo di assetto, in mwcafisica e in mwcqastrodinamica. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

Un quaternione è un elemento scrivibile come

mwdg a + b i + c j + d k {\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }

con mwea a , b , c {\displaystyle a,b,c} e mweq d {\displaystyle d} mwegnumeri reali e mwew i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } simboli letterali.

Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni

mwfw i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − − 1 , {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1,}

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

mwgw i j = k , {\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k} ,}

mwhq j k = i , {\displaystyle \mathbf {j} \mathbf {k} =\mathbf {i} ,}

mwhw k i = j , {\displaystyle \mathbf {k} \mathbf {i} =\mathbf {j} ,}

mwiq j i = − − k , {\displaystyle \ \mathbf {j} \mathbf {i} =-\mathbf {k} ,}

mwiw k j = − − i , {\displaystyle \mathbf {k} \mathbf {j} =-\mathbf {i} ,}

mwjq i k = − − j . {\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {k} =-\mathbf {j} .}

I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:

mwkq mwkgmwkw mwlamwlq × × {\displaystyle \times } mwlgmwlw 1 {\displaystyle 1} mwmamwmq i {\displaystyle \mathbf {i} } mwmgmwmw j {\displaystyle \mathbf {j} } mwnamwnq k {\displaystyle \mathbf {k} } mwng mwnwmwoa 1 {\displaystyle 1} mwoqmwog 1 {\displaystyle 1} mwowmwpa i {\displaystyle \mathbf {i} } mwpqmwpg j {\displaystyle \mathbf {j} } mwpwmwqa k {\displaystyle \mathbf {k} } mwqq mwqgmwqw i {\displaystyle \mathbf {i} } mwramwrq i {\displaystyle \mathbf {i} } mwrgmwrw − − 1 {\displaystyle -1} mwsamwsq k {\displaystyle \mathbf {k} } mwsgmwsw − − j {\displaystyle -\mathbf {j} } mwta mwtqmwtg j {\displaystyle \mathbf {j} } mwtwmwua j {\displaystyle \mathbf {j} } mwuqmwug − − k {\displaystyle -\mathbf {k} } mwuwmwva − − 1 {\displaystyle -1} mwvqmwvg i {\displaystyle \mathbf {i} } mwvw mwwamwwq k {\displaystyle \mathbf {k} } mwwgmwww k {\displaystyle \mathbf {k} } mwxamwxq j {\displaystyle \mathbf {j} } mwxgmwxw − − i {\displaystyle -\mathbf {i} } mwyamwyq − − 1 {\displaystyle -1}

La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:

mwzq ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) + ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i + ( c 1 + c 2 ) j + ( d 1 + d 2 ) k {\displaystyle (a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} }

mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:

mw0q ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) = {\displaystyle (a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )=}

mw0w = ( a 1 a 2 − − b 1 b 2 − − c 1 c 2 − − d 1 d 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − − d 1 c 2 ) i + ( a 1 c 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 − − b 1 d 2 ) j + ( a 1 d 2 + d 1 a 2 + b 1 c 2 − − c 1 b 2 ) k . {\displaystyle =(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}

I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo mw1q q = a {\displaystyle q=a} , con mw1g b = c = d = 0 {\displaystyle b=c=d=0} ) ed i mw1wnumeri complessi (i quaternioni del tipo mw2a q = a + b i {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} } , con mw2q c = d = 0 {\displaystyle c=d=0} , ma anche del tipo mw2g q = a + b j {\displaystyle q=a+b\mathbf {j} } oppure del tipo mw2w q = a + b k {\displaystyle q=a+b\mathbf {k} } ).

Dati due quaternioni

mw4a x = 3 + i , y = 5 i + j − − 2 k {\displaystyle x=3+\mathbf {i} ,\quad y=5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k} } ,

somma e prodotto sono dati da:

mw5a x + y = 3 + 6 i + j − − 2 k {\displaystyle x+y=3+6\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k} }

mw5g x y = ( 3 + i ) ( 5 i + j − − 2 k ) = 15 i + 3 j − − 6 k + 5 i 2 + i j − − 2 i k = 15 i + 3 j − − 6 k − − 5 + k + 2 j = − − 5 + 15 i + 5 j − − 5 k . {\displaystyle xy=(3+\mathbf {i} )(5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k} )=15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} +5\mathbf {i} ^{2}+\mathbf {ij} -2\mathbf {ik} =15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} -5+\mathbf {k} +2\mathbf {j} =-5+15\mathbf {i} +5\mathbf {j} -5\mathbf {k} .}

I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie dei mw6qnumeri complessi: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come mw6gmw6wnorma e mw7aconiugato; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un mw7qinverso rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere mw7gcommutativo.

Il prodotto di due quaternioni non è in generale mw8qcommutativo: lo è solo se entrambi appartengano allo stesso piano complesso. Ad esempio, come si è già visto, mw8g i j = k {\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k} } è diverso da mw8w j i = − − k {\displaystyle \mathbf {j} \mathbf {i} =-\mathbf {k} } .

Tuttavia, per linearità, si comporta come un prodotto tra polinomi e si può riportare ai 4x4 prodotti fondamentali della tabella di cui sopra.

Il mw9wconiugato di un quaternione mw-a q = a + b i + c j + d k {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} } è il quaternione mw-q q ¯ ¯ = a − − b i − − c j − − d k , {\displaystyle {\bar {q}}=a-b\mathbf {i} -c\mathbf {j} -d\mathbf {k} ,} (a volte indicato anche con mw-g q ∗ ∗ {\displaystyle q^{*}} ).

Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:

mw-g q ¯ ¯ ¯ ¯ = q , {\displaystyle {\overline {\overline {q}}}=q,}

mwaqa q + q ′ ¯ ¯ = q ¯ ¯ + q ¯ ¯ ′ , {\displaystyle {\overline {q+q'}}={\overline {q}}+{\overline {q}}',}

mwaqi q q ′ ¯ ¯ = q ¯ ¯ ′ q ¯ ¯ . {\displaystyle {\overline {qq'}}={\overline {q}}'{\overline {q}}.}

Il coniugato può anche essere espresso da una mwaqqcombinazione lineare di mwaqu q , {\displaystyle q,} con coefficienti contenenti mwaqy i , j , k , {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,} nel seguente modo:

mwaqk q ¯ ¯ = − − q + i q i + j q j + k q k 2 . {\displaystyle {\bar {q}}=-{\frac {q+\mathbf {i} q\mathbf {i} +\mathbf {j} q\mathbf {j} +\mathbf {k} q\mathbf {k} }{2}}.}

La mwaqwmwaq0norma di mwaq4 q {\displaystyle q} è il numero reale non negativo

mware | q | = q q ¯ ¯ = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . {\textstyle |q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}.}

La norma di mwarm q {\displaystyle q} è sempre positiva, e nulla soltanto se mwarq q = 0 {\displaystyle q=0} . Valgono le relazioni seguenti:

mwarc | q | 2 = q q ¯ ¯ , {\displaystyle |q|^{2}=q{\bar {q}},}

mwark | q q ′ | = | q | | q ′ | . {\displaystyle |qq'|=|q||q'|.}

Un quaternione mwarw q {\displaystyle q} diverso da zero ha un mwar0inverso per la moltiplicazione, dato da

mwasa q − − 1 = q ¯ ¯ | q | 2 . {\displaystyle q^{-1}={\frac {\overline {q}}{|q|^{2}}}.}

Infatti

mwasq q q − − 1 = q q ¯ ¯ | q | 2 = q q ¯ ¯ | q | 2 = | q | 2 | q | 2 = 1 {\displaystyle qq^{-1}=q{\frac {\overline {q}}{|q|^{2}}}={\frac {q{\overline {q}}}{|q|^{2}}}={\frac {|q|^{2}}{|q|^{2}}}=1}

e similmente mwasy q − − 1 q = 1 {\displaystyle q^{-1}q=1} . Valgono le proprietà seguenti:

mwask | q − − 1 | = 1 | q | , {\displaystyle |q^{-1}|={\frac {1}{|q|}},}

mwass q − − 1 ¯ ¯ = q ¯ ¯ − − 1 , {\displaystyle {\overline {q^{-1}}}={\overline {q}}^{-1},}

mwas0 ( q q ′ ) − − 1 = q ′ − − 1 q − − 1 . {\displaystyle (qq')^{-1}={q'}^{-1}q^{-1}.}

Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con mwata H {\displaystyle \mathbb {H} } , forma un mwateanello non commutativo, più precisamente un mwaticorpo.

Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale mwatq λ λ {\displaystyle \lambda } , data da

mwatc λ λ ( a + b i + c j + d k ) = λ λ a + λ λ b i + λ λ c j + λ λ d k , {\displaystyle \lambda (a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )=\lambda a+\lambda b\mathbf {i} +\lambda c\mathbf {j} +\lambda d\mathbf {k} ,}

i quaternioni formano anche uno mwatkspazio vettoriale reale di mwatodimensione 4: una mwatsbase per lo spazio è data dagli elementi mwatw { 1 , i , j , k } {\displaystyle \{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}} .

Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di mwat4algebra di divisione. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.

Usando la funzione distanza

mwaum d ( q , q ′ ) = | q − − q ′ | , {\displaystyle d(q,q')=|q-q'|,}

i quaternioni formano uno mwauuspazio metrico, mwauyisometrico allo spazio mwauc R {\displaystyle \mathbb {R} } mwaug4 dotato della usuale mwaukmetrica euclidea. Le coordinate mwauo ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} di un quaternione mwaus q {\displaystyle q} lo identificano come elemento di mwauw R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , e tramite questa identificazione, la norma mwau0 | q | {\displaystyle |q|} è semplicemente la mwau4norma euclidea.

Con la norma, i quaternioni formano un'mwavaalgebra di Banach reale.

I quaternioni unitari sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, mwavq 1 , i , j {\displaystyle 1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} } e mwavu k {\displaystyle \mathbf {k} } sono unitari. Nell'identificazione con mwavy R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , i quaternioni unitari formano una mwavcipersfera quadridimensionale.

mwavo S 3 = { ( a , b , c , d ) ∈ ∈ R 4 | a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 } . {\displaystyle S^{3}=\{(a,b,c,d)\in \mathbb {R} ^{4}\ |\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\}.}

I quaternioni unitari formano un mwavwgruppo moltiplicativo rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è mwav0abeliano. Con la struttura di mwav4varietà differenziabile data da mwav8 S 3 {\displaystyle S^{3}} , esso forma un mwawagruppo di Lie.

Ogni quaternione unitario mwawm q {\displaystyle q} definisce una mwawqrotazione dello spazio mwawu R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} nel modo seguente. Osserviamo che si può indicare il quaternione mwawy q = a + b i + c j + d k {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} } tramite una notazione scalare-vettore mwawc q = ( a , v ) {\displaystyle q=(a,v)} , con mwawg v = ( b , c , d ) {\displaystyle v=(b,c,d)} , e identifichiamo mwawk R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} con l'insieme dei quaternioni mwawo x = ( 0 , v ) {\displaystyle x=(0,v)} con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da mwaws q {\displaystyle q} è data dall'operazione di mwawwconiugio

mwaw8 x ↦ ↦ q x q − − 1 . {\displaystyle x\mapsto qxq^{-1}.}

Si verifica infatti facilmente che se mwaxe x {\displaystyle x} ha prima coordinata nulla, anche mwaxi q x q − − 1 {\displaystyle qxq^{-1}} ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'mwaxmazione del gruppo dei quaternioni unitari su mwaxq R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:

mwaxc | q x q − − 1 | = | q | | x | | q − − 1 | = | q | | x | | q | − − 1 = | x | . {\displaystyle |qxq^{-1}|=|q||x||q^{-1}|=|q||x||q|^{-1}=|x|.}

I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in mwaxk R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni mwaxo q , q ′ {\displaystyle q,q'} definiscono la stessa rotazione se e solo se mwaxs q = − − q ′ {\displaystyle q=-q'} .

Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa

mwaya S 3 → → S O ( 3 ) {\displaystyle S^{3}\to SO(3)}

dal gruppo dei quaternioni unitari sul mwayigruppo ortogonale speciale delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è mwaymsuriettiva, ma non mwayqiniettiva: la mwayucontroimmagine di un punto è data da due punti opposti mwayy { ± ± q 0 } {\displaystyle \{\pm q_{0}\}} . In particolare, tale mappa è un mwaycrivestimento di grado 2.

Poiché mwayk S 3 {\displaystyle S^{3}} è mwayosemplicemente connesso, questo è il mwaysrivestimento universale di mwayw S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} , che ha quindi come mway0gruppo fondamentale il mway4gruppo ciclico mway8 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }} con due elementi. Topologicamente, mwaza S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} è mwazeomeomorfo allo mwazispazio proiettivo mwazm P 3 ( R ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} )} .

Il mwazcsottogruppo generato dagli elementi mwazg { 1 , i , j , k } {\displaystyle \{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}} è un mwazkgruppo finito: ha mwazoordine 8, e viene spesso indicato con mwazs Q 8 {\displaystyle Q_{8}} . I suoi otto elementi sono

mwaz4 { ± ± 1 , ± ± i , ± ± j , ± ± k } . {\displaystyle \{\pm 1,\pm \mathbf {i} ,\pm \mathbf {j} ,\pm \mathbf {k} \}.}

Il gruppo mwaaa Q 8 {\displaystyle Q_{8}} è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il mwaaegruppo di permutazioni mwaai S 3 {\displaystyle S_{3}} , che ha ordine 6.

Il quaternione mwaay q = a + b i + c j + d k {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} } può essere descritto anche dalla coppia mwaac ( a , v ) {\displaystyle (a,v)} , dove mwaag v = ( b , c , d ) {\displaystyle v=(b,c,d)} è un vettore in mwaak R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:

mwaaw q 1 + q 2 = ( a 1 , v 1 ) + ( a 2 , v 2 ) = ( a 1 + a 2 , v 1 + v 2 ) q 1 ⋅ ⋅ q 2 = ( a 1 a 2 − − v 1 ⋅ ⋅ v 2 , a 1 v 2 + a 2 v 1 + v 1 ∧ ∧ v 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}q_{1}+q_{2}&=&(a_{1},v_{1})+(a_{2},v_{2})=(a_{1}+a_{2},v_{1}+v_{2})\\q_{1}\cdot q_{2}&=&(a_{1}a_{2}-v_{1}\cdot v_{2},a_{1}v_{2}+a_{2}v_{1}+v_{1}\wedge v_{2})\end{matrix}}}

dove si usano il mwaa4prodotto scalare ed il mwaa8prodotto vettoriale fra vettori di mwaba R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Le nozioni di coniugato e norma diventano:

mwabm q ¯ ¯ = ( a , − − v ) {\displaystyle {\bar {q}}=(a,-v)}

mwabu | q | 2 = a 2 + | v | 2 {\displaystyle |q|^{2}=a^{2}+|v|^{2}\,\!}

usando l'usuale mwabcnorma di un vettore in mwabg R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .

Grazie alla relazione mwabs k = i j = − − j i {\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} } , ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli mwabw i {\displaystyle \mathbf {i} } e mwab0 j {\displaystyle \mathbf {j} } nel modo seguente:

mwaca q = a + b i + c j + d k = a + b i + c j − − d j i = a + b i + j ( c − − d i ) . {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} -d\mathbf {j} \mathbf {i} =a+b\mathbf {i} +\mathbf {j} (c-d\mathbf {i} ).}

Quindi

mwacq q = z + j w , {\displaystyle q=z+\mathbf {j} w,}

dove mwacy z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathbf {i} } e mwacc w = c − − d i {\displaystyle w=c-d\mathbf {i} } sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione

mwaco i j = − − j i . {\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .}

Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente

mwac4 q ¯ ¯ = ( z ¯ ¯ , − − w ) , {\displaystyle {\bar {q}}=({\bar {z}},-w),}

mwada | q | 2 = | z | 2 + | w | 2 . {\displaystyle |q|^{2}=|z|^{2}+|w|^{2}.}

I quaternioni possono essere espressi tramite mwadmmatrici mwadq 2 × × 2 {\displaystyle 2\times 2} di mwadunumeri complessi, oppure matrici mwady 4 × × 4 {\displaystyle 4\times 4} di numeri reali.

Il quaternione mwadk q = z + w j {\displaystyle q=z+w\mathbf {j} } , con mwado z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathbf {i} } e mwads w = c + d i {\displaystyle w=c+d\mathbf {i} } , può essere rappresentato dalla matrice a coefficienti complessi

mwad4 [ z w − − w ¯ ¯ z ¯ ¯ ] = [ a + b i c + d i − − c + d i a − − b i ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&\,\,{\overline {z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a+b\mathbf {i} &c+d\mathbf {i} \\-c+d\mathbf {i} &\,\,a-b\mathbf {i} \end{bmatrix}}}

Attraverso questa identificazione, gli elementi mwaea 1 , i , j , k {\displaystyle 1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } sono rappresentati rispettivamente da:

mwaem [ 1 , 0 0 , 1 ] , [ i , 0 0 , − − i ] , [ 0 , 1 − − 1 , 0 ] , [ 0 , i i , 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1,&0\\0,&1\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}\mathbf {i} ,&0\\0,&-\mathbf {i} \\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&1\\-1,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&\mathbf {i} \\\mathbf {i} ,&0\\\end{matrix}}\right].}

Indichiamo con mwaeu ϕ ϕ : H → → Mat n , n ( C ) {\displaystyle \phi :\mathbb {H} \rightarrow {\text{Mat}}_{n,n}(\mathbb {C} )} . Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

• mwaeg ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è un omomorfismo iniettivo di mwaekmonoidi.

• Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al mwaesdeterminante della matrice corrispondente.

• Il coniugato di un quaternione corrisponde alla mwae0coniugata trasposta della matrice corrispondente.

• Restringendosi ai quaternioni unitari, questa applicazione induce un mwae8isomorfismo di gruppi tra la mwafasfera mwafe S 3 ⊂ ⊂ H {\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {H} } e il mwafigruppo unitario speciale mwafm SU ( 2 ) {\displaystyle {\text{SU}}(2)} . Questo gruppo, strettamente collegato alle mwafqmatrici di Pauli, è usato in mwafumeccanica quantistica per rappresentare lo mwafyspin.

Gli elementi mwafk 1 , i , j , k {\displaystyle 1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } sono rappresentati rispettivamente da:

mwafw [ 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1 ] , [ 0 , 1 , 0 , 0 − − 1 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , − − 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 0 , − − 1 0 , 0 , − − 1 , 0 0 , 1 , 0 , 0 1 , 0 , 0 , 0 ] , [ 0 , 0 , − − 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1 1 , 0 , 0 , 0 0 , − − 1 , 0 , 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1,&0,&0,&0\\0,&1,&0,&0\\0,&0,&1,&0\\0,&0,&0,&1\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&1,&0,&0\\-1,&0,&0,&0\\0,&0,&0,&1\\0,&0,&-1,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&0,&0,&-1\\0,&0,&-1,&0\\0,&1,&0,&0\\1,&0,&0,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&0,&-1,&0\\0,&0,&0,&1\\1,&0,&0,&0\\0,&-1,&0,&0\\\end{matrix}}\right].}

Il quaternione mwaf4 a + b i + c j + d k {\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} } è quindi rappresentato da

mwage [ a b − − d − − c − − b a − − c d d c a b c − − d − − b a ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&-d&-c\\-b&a&-c&d\\d&c&a&b\\c&-d&-b&a\end{bmatrix}}}

In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla mwagmtrasposta della matrice.

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei mwagypolinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione mwagc q 2 + 1 = 0 {\displaystyle q^{2}+1=0} per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i

mwago q = b i + c j + d k , {\displaystyle q=b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} ,}

con mwagw b 2 + c 2 + d 2 = 1 {\displaystyle b^{2}+c^{2}+d^{2}=1} .

Se mwag8 F {\displaystyle F} è un generico mwahacampo e mwahe a {\displaystyle a} e mwahi b {\displaystyle b} sono elementi di mwahm F , {\displaystyle F,} è possibile definire un'mwahqalgebra associativa unitaria a quattro dimensioni su mwahu F {\displaystyle F} usando due generatori mwahy i {\displaystyle \mathbf {i} } e mwahc j {\displaystyle \mathbf {j} } e le relazioni mwahg i 2 = a , j 2 = b {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=a,\mathbf {j} ^{2}=b} e mwahk i j = − − j i . {\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .} Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle mwahomatrici mwahs 2 × × 2 {\displaystyle 2\times 2} su mwahw F , {\displaystyle F,} e inoltre sono delle mwah0algebre di divisione su mwah4 F . {\displaystyle F.} Sono chiamate algebre di quaternioni.

cite-note-11. ↑ mwaiymwaicscholar.google.it, mwaighttps://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAAmwaik Titolo mancante per url mwaiourl (aiuto).

cite-note-22. ↑ Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) mwajaRegular Functions of a Quaternionic Variable, Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0

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• mwaksNumeri complessi

• mwak0Gruppo dei quaternioni

• mwak8Ottonione

• mwaleSedenione

• mwalmNumero ipercomplesso

• mwaluAlgebra di divisione

• mwalcAlgebra associativa

• mwalkTeoria dei gruppi

• mwalsRotazioni spaziali con i quaternioni

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